Matemáticas para un avance revolucionario
Solemos escuchar a otros compañeros decir que las matemáticas consisten básicamente en probar teoremas. Pero ¿acaso el trabajo de un escritor es sólo escribir frases? Las matemáticas y su impacto sobre las TIC van mucho más allá.
Cuando era estudiante, me contaron una historia, y me dejó fascinado el poder de lo imaginario (y, por extensión, de la imaginación) para resolver los problemas más enrevesados en matemáticas. Un matemático va cruzando el desierto a camello cuando se encuentra con tres hermanos, aparentemente muy ocupados. Su padre acaba de morir y les ha legado 17 camellos en un testamento con unas cláusulas muy poco habituales. Júzguenlas ustedes mismos: el mayor debe recibir la mitad, el segundo un tercio y el más joven una novena parte.
Las neuronas del matemático, tentadas a dividir un número primo según la proporción descrita, encontraron rápidamente la solución: el matemático añadió generosamente su camello a los 17 de la herencia, de modo que el mayor pudiera recibir nueve, el segundo seis y el tercero tres, de acuerdo con la distribución que se pedía. Tras haber resuelto el problema, al matemático sólo le quedó una cosa que decir: “Ahora, ¡devuélvanme mi camello!”.
Esta historia contiene los ingredientes básicos de la investigación matemática y, por ende, de la investigación creativa: en la investigación matemática, la imaginación es más importante que el conocimiento. Si un determinado problema ya definido no se puede resolver, los matemáticos imaginan un nuevo problema. En esto se alejan de los enfoques tradicionales, que se ajustan a los límites de partida. En muchas ocasiones, una solución nueva y elegante no se ajustará a las restricciones originales.
No obstante, con frecuencia proporcionará un nuevo punto de vista para el problema y una solución innovadora, por lo que se llegará a un consenso sobre la necesidad de cambiar las restricciones iniciales para seguir avanzando.
Por supuesto, en muchos casos, el problema puede resolverse contando con las restricciones iniciales, pero los matemáticos buscarán generalizar la solución a través de la hipótesis mínima necesaria.
La generalización es clave en las matemáticas. Se trata de un aspecto muy importante en las aplicaciones de ingeniería en relación con lo que se conoce como la “solidez” de una solución, o, por ende, de un producto.
La calidad de la solución no debe desviarse mucho de lo óptimo cuando se producen pequeños cambios en el problema. Los avances revolucionarios en matemáticas suelen basarse en la existencia de soluciones, sin disponer necesariamente de su construcción algorítmica.
Suena un poco a magia, pero se conoce como prueba no constructiva (o también “teorema de existencia pura”), que demuestra la existencia de un tipo de objeto en particular sin aportar un ejemplo. Se trata de una cuestión fundamental y que ha conducido a importantes avances revolucionarios en el campo de las TIC.
El famoso artículo de Claude Elwood Shannon ,”Una teoría matemática de la comunicación”, de 1948, introdujo lo que se conoce como la capacidad de un canal, pero Shannon la demostró sin diseñar un esquema práctico de codificación para tal propósito.
Algoritmos para avances prácticos
¿Qué es exactamente un algoritmo? Un algoritmo en matemáticas es un procedimiento, una descripción de una serie de pasos que pueden usarse para resolver una computación matemática. Es como una receta de cocina. El término “algoritmo” proviene del matemático Al-Juarismi, que vivió en Bagdad en el siglo IX. Los algoritmos están por todas partes y muchos de ellos nos resultan familiares, como el algoritmo Viterbi, la transformada rápida de Fourier, el algoritmo de ramificación y poda, el algoritmo de esperanza-maximización (algoritmo EM), el algoritmo de Dijkstra, el descenso de gradiente, el método de Newton o algoritmo LLL… Por nombrar sólo algunos. Tienen un enorme impacto en el desarrollo del sector de las telecomunicaciones y, algunos, se han vuelto imprescindibles.
No obstante, hay un largo camino desde las matemáticas fundamentales hasta los algoritmos matemáticos y, desde ahí, hasta las aplicaciones de ingeniería. La famosa transformada de Fourier es un ejemplo típico. La idea de la transformada de Fourier es descomponer una función de tiempo en sus frecuencias constituyentes. Se enseña en todos los cursos fundamentales de ingeniería eléctrica, ya que proporciona información directa sobre la señal que se debe procesar.
Fue el matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768–1830) quien introdujo la teoría a partir de problemas de aplicación de la transferencia de calor y la vibración. Llevó muchos años derivar un algoritmo que permitiera aplicarla. Aunque existen algunos trabajos preliminares del matemático alemán Gauss sobre la transformada discreta de Fourier (DFT), no fue hasta 1965 cuando James Cooley y John Tukey publicaron el famoso algoritmo de la transformada rápida de Fourier (FFT). La FFT se convirtió en el núcleo de todas las grandes innovaciones tecnológicas, como las tecnologías Wi-Fi, ADSL, LTE o DVB.
¿Qué será lo próximo?
Desde 1948, muchos echan en falta artículos de referencia que sirvan de guía en nuestro campo. Se sienten un poco perdidos desde Shannon. Desde una perspectiva histórica, 1948 fue un año fundamental en el campo de las TIC, en el que aparecieron muchas otras contribuciones fundamentales. El trabajo de Norbert Wiener, Cibernética o el control y comunicación en animales y máquinas, fue pionero en el campo del procesamiento de señales, con muchas aplicaciones vinculadas a la detección, la evaluación y el control de los sistemas de comunicación.
El libro Teoría de juegos y comportamiento económico, de J. Von Neumann y O. Morgenstern, inauguró el campo de la teoría de juegos y, más en general, del aprendizaje en los sistemas con agentes. Todas estas contribuciones ofrecieron los ingredientes esenciales para muchos años de investigación algorítmica.
¿Qué buscamos para 2028? De hecho, nunca hemos necesitado tantas herramientas matemáticas avanzadas como ahora y ya existen algunas de las nuevas herramientas fundamentales que nos permitirán ir más allá de los límites actuales (el límite de Shannon y el límite de Nyquist, por nombrar dos de ellos).
Durante mucho tiempo hemos tratado de mejorar los mismos modelos, por la dificultad de abordar los nuevos. Sin embargo, como es bien sabido, no es que no lo intentemos porque sea difícil; más, bien, resulta difícil porque no lo intentamos.
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El autor de este artículo, Mérouane Debbah, es Director of the Mathematical and Algorithmic Science Laboratory at the Huawei Research Center in Paris.
